AHOI 2005 洗牌（扩展欧几里德）

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Ahoi2005 洗牌

问题描述

为了表彰小联为Samuel星球的探险所做出的贡献，小联被邀请参加Samuel星球近距离载人探险活动。 由于Samuel星球相当遥远，科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间，小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后，大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。 对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的，将一叠N（N为偶数）张扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。 如果对一叠6张的扑克牌1 2 3 4 5 6，进行一次洗牌的过程如下图所示：
这里写图片描述

从图中可以看出经过一次洗牌，序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然，再对得到的序列进行一次洗牌，又会变为2 4 6 1 3 5。 游戏是这样的，如果给定长度为N的一叠扑克牌，并且牌面大小从1开始连续增加到N（不考虑花色），对这样的一叠扑克牌，进行M次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利，你能帮助他吗？

输入格式

有三个用空格间隔的整数，分别表示N，M，L （其中0＜ N ≤ 10 ^ 10 ，0 ≤ M ≤ 10^ 10，且N为偶数）。

输出格式

单行输出指定的扑克牌的牌面大小。

样例输入

6 2 3

样例输出

6

观察一次洗牌后对应牌的位置，比如

1 2 3 4 5 6
2 4 6 1 3 5

可以发现如果后面三个数都加上$n+1$那么就是

2 4 6 8 10 12

那么规律就很明显了，得到递推式$x=2x \ mod(n+1)$

如果没有观察出来，那么暴力写递推，有

设当前状态下的位置为$x(1\leq x\leq n)$，洗一次牌后的位置为$x’$。
当$x\leq \frac{n}{2}$时，$x’=2x$。
当$x>\frac{n}{2}$时，$x’=2(x-\frac{n}{2})-1=2x-n-1$。
可以发现，两种状态可以合并，得到$x’=2x\ mod\ (n+1)$

于是题目的解变成了方程$2^m\times x\equiv L\ mod\ (n+1)$的解，用扩欧处理即可。

代码：

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#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,l,p;
ll QM(ll a,ll b)
{
	ll ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=ans*a%p;
		b>>=1;a=a*a%p;
	}
	return ans;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0){x=1;y=0;return a;}
	ll r,x1,y1;
	r=exgcd(b,a%b,x1,y1);
	x=y1;y=x1-a/b*y1;
	return r;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&l);p=n+1;
	ll a=QM(2,m),b=n+1,x,y,d,k;
	d=exgcd(a,b,x,y);k=l/d;
	x=k*x;x%=p;x+=p;x%=p;
	printf("%lld",x);
}