HDU 5781 ATM Mechine（数学期望+dp）

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自动取款机

问题描述

Alice打算从自动取款机上取出她的所有存款。但是她忘了自己有多少存款了，她只知道存款不超过k块钱。
但是这台取款机很奇怪，它不支持余额查询功能，Alice只能通过多次尝试的方式取钱。每次尝试，Alice输入一个提取金额y，若账户余额>=y,取款机会立即吐出y块钱。若余额 < y，取款机会发出警告。如果取款机发出了w次警告，它会认为Alice在故意捣乱，就会立即把卡吞掉。

请你帮忙计算，在不被吞卡的情况下，期望多少次就能取出所有的钱？

输入格式

有5组数据

对于每组数据，只有一行, 两个整数 k和w.

输出格式

五行，每行对应一组数据的结果，只有一个数字,表示问题的答案，保留6个小数位。

样例输入 1

1 1
4 2
20 3
10 6
123 7

样例输出 1

1.000000
2.400000
4.523810
3.545455
6.967742

样例输入 2

322 6
1193 10
926 7
335 3
253 2

样例输出 2

8.445820
10.284757
9.907228
10.747024
15.937008

提示

对于100%的数据, 1≤K,W≤2000

令$F[i][j]$表示钱数不超过$i$，再被$j$次警告就会GG，那么考虑这一次取多少钱，有
$$
F[i][j]=min(\frac{i+1-k}{i+1}F[i-k][j]+\frac{k}{i+1}F[k-1][j-1]+1)
$$
由于实际钱数是一个随机变量，那么有$\frac{i+1-k}{i+1}$的概率实际钱数大于等于$k$使得取钱成功，有$\frac{k}{i+1}$的概率被警告，无论如何钱数的上界都会缩小。

直接这样dp是$O(n^3)$的，但是注意到如果$w$足够大，那么是可以二分得到最优答案的。因此当$w>\log_2k$之后，$F[i][w]$是不变的。因此第二维只需要算到$12$就差不多了。复杂度$O(n^2)$

代码：

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#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 2005
using namespace std;
int k,w;
double F[N][N];
int main()
{
	int i,j,x;
	for(i=1;i<N;i++)F[i][1]=1.0*F[i-1][1]*i/(i+1)+1.0;
	for(i=1;i<N;i++)F[1][i]=1.0;
	for(i=2;i<N;i++)
	for(j=2;j<14;j++)
	{
		F[i][j]=1e9;
		for(x=1;x<=i;x++)F[i][j]=min(1.0*F[i-x][j]*(i+1-x)/(i+1)+1.0*F[x-1][j-1]*x/(i+1)+1.0,F[i][j]);
	}
	for(i=1;i<=5;i++)
	{
		scanf("%d%d",&k,&w);w=min(w,13);
		printf("%.6lf\n",F[k][w]);
	}
}