NKOJ 1623 守卫者的挑战（概率+递推）

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P1623【概率】守卫者的挑战

问题描述

　　打开了黑魔法师Vani的大门，队员们在迷宫般的路上漫无目的地搜寻着关押applepi的监狱的所在地。突然，眼前一道亮光闪过。“我，Nizem，是黑魔法圣殿的守卫者。如果你能通过我的挑战，那么你可以带走黑魔法圣殿的地图……”瞬间，队员们被传送到了一个擂台上，最初身边有一个容量为K的包包。
　　擂台赛一共有N项挑战，各项挑战依次进行。第i项挑战有一个属性ai，如果ai>=0，表示这次挑战成功后可以再获得一个容量为ai的包包；如果ai=-1，则表示这次挑战成功后可以得到一个大小为1 的地图残片。地图残片必须装在包包里才能带出擂台，包包没有必要全部装满，但是队员们必须把获得的所有的地图残片都带走（没有得到的不用考虑，只需要完成所有N项挑战后背包容量足够容纳地图残片即可），才能拼出完整的地图。并且他们至少要挑战成功L次才能离开擂台。
　　队员们一筹莫展之时，善良的守卫者Nizem帮忙预估出了每项挑战成功的概率，其中第i项挑战成功的概率为Pi/100。现在，请你帮忙预测一下，队员们能够带上他们获得的地图残片离开擂台的概率。

输入格式

　　第一行三个整数N,L,K。
　　第二行N个实数，第个i实数Pi表示第i项挑战成功的百分比。
　　第三行N个整数，第个i整数ai表示第i项挑战的属性值.

输出格式

　　一个整数，表示所求概率，四舍五入保留6 位小数。

样例输入1

3 1 0
10 20 30
-1 -1 2

样例输入2

5 1 2
36 44 13 83 63
-1 2 -1 2 1

样例输出1

0.300000

样例输出2

0.980387

令$F[i][j][k]$表示前$i$场比赛，打赢了$j$场，剩下的背包容积为$k$的概率，那么目标就是求$F[n][l-n][0-n]$的和，注意，背包容积大于$n$是没有意义的，全部统计到$n$中即可。
那么递推式就比较好推了。
为了方便，考虑第$i+1$场比赛的输赢及属性。

假如$A_{i+1}=-1$
那么如果第$i+1$场赢了，$F[i+1][j+1][k-1]+=F[i][j][k]\times P[i+1]$
如果第$i+1$场输了，$F[i+1][j][k]+=F[i][j][k]\times (1-P[i+1])$

反之，假如$A_{i+1}=t$
那么如果第$i+1$场赢了，$F[i+1][j+1][k+t]+=F[i][j][k]\times P[i+1]$
如果第$i+1$场输了，$F[i+1][j][k]+=F[i][j][k]\times (1-P[i+1])$

代码：

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#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,l,m,A[205];
double P[205],F[205][205][405],ans;
int main()
{
	int i,j,k;
	scanf("%d%d%d",&n,&l,&m);
	for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&P[i]),P[i]=P[i]/double(100);
	for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&A[i]);
	F[0][0][min(m,n)+200]=1;
	for(i=0;i<n;i++)
	for(j=0;j<=i;j++)
	for(k=-n;k<=n;k++)
	{
		if(A[i+1]==-1)
		{
			F[i+1][j][k+200]+=F[i][j][k+200]*(1-P[i+1]);
			F[i+1][j+1][k+199]+=F[i][j][k+200]*P[i+1];
		}
		else
		{
			F[i+1][j][k+200]+=F[i][j][k+200]*(1-P[i+1]);
			F[i+1][j+1][min(k+A[i+1],n)+200]+=F[i][j][k+200]*P[i+1];
		}
	}
	for(i=l;i<=n;i++)
	for(j=0;j<=n;j++)ans+=F[n][i][j+200];
	printf("%.6lf",ans);
}