NKOJ 2993 （NOI 2014）动物园（KMP+栈）

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P2993【NOI2014 Day2】动物园

问题描述

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。
某天，园长给动物们讲解KMP算法。
园长：“对于一个字符串S，它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”
熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”
园长：“非常好！那你能举个例子吗？”
熊猫：“例S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3。”
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。
下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”
最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？
特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出$\prod_{i=1}^{L}(num[i]+1)$对1,000,000,007取模的结果即可。
其中$\prod_{i=1}^{L}(num[i]+1)=(num[1]+1)\times (num[2]+1)\times …\times (num[L]+1)$

输入格式

第1行仅包含一个正整数n，表示测试数据的组数。
随后n行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。
数据保证S中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

输出格式

包含n行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。
对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对1,000,000,007取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

样例输入

3
aaaaa
ab
abcababc

样例输出

36
1
32

数据范围
这里写图片描述

总结一下题意，我们需要求对于以$i$位置为末尾的子串，他的所有长度小于等于$\frac{i}{2}$的前缀和后缀中相同的串的个数。

回忆$KMP$算法中$fail[i]$的意义，他表示以$i$号位置为结尾的子串的前缀和后缀中最长的相等的串。

我们来看看对于一个位置$i$，$fail[i]$位置表示的子串肯定既是$i$的前缀，也是$i$的后缀，那么$fail[fail[i]]$表示的子串呢，容易发现他肯定也是$i$的前缀和$i$的后缀，同时由于$fail$数组记录的是最长的子串，那么$fail[fail[i]]$表示的肯定是$i$的前缀和后缀中长度第二长的子串。

那么问题的解就比较显然了，我们需要求$fail$链上，编号小于等于$\frac {i}{2}$的编号个数。

暴力一点就直接用$while$循环算。
但事实上，如果将$fail[i]$作为$i$的父亲，那么$fail$数组就形成了一棵树。那么我们就可以在遍历树的过程中用树状数组来维护。这样大概能得80分。
事实上，我们可以更快一点，观察发现，$fail$链上的编号是递增的，那么$num[i]>=num[fail[i]]$，那么我们可以每次直接将$num[i]$赋值为$num[fail[i]]$，然后用栈暴力增加$num[i]$，由于每个数最多被讨论到一次，均摊复杂度$O（n）$
具体实现可以参考代码。

代码：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
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55
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57
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 1000005
#define ll long long
using namespace std;
char A[N];
int n,l,F[N],B[N],S[N],top;
int TOT,LA[N],NE[N],EN[N];
ll ans,mod=1000000007LL;
void DFS(int x)
{
	S[++top]=x;
	B[x]=B[F[x]];
	while(B[x]<top-1&&(S[B[x]+1]<<1)<=x)B[x]++;//暴力更新
	for(int i=LA[x];i;i=NE[i])DFS(EN[i]);
	top--;
}
void ADD(int x,int y)
{
	TOT++;
	EN[TOT]=y;
	NE[TOT]=LA[x];
	LA[x]=TOT;
}
int main_main()
{
	int i,j,n;
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		memset(LA,0,sizeof(LA));
		ans=1;TOT=0;
		scanf("%s",&A[1]);A[0]='%';
	    l=strlen(A)-1;j=0;
	    for(i=2;i<=l;i++)
	    {
	    	while(j>0&&A[i]!=A[j+1])j=F[j];
	    	if(A[i]==A[j+1])j++;
	    	F[i]=j;
    	}
    	for(i=1;i<=l;i++)ADD(F[i],i);
    	DFS(0);
    	for(i=1;i<=l;i++)ans=ans*B[i]%mod;
    	printf("%lld\n",ans);
	}
}
const int main_stack=16;
char my_stack[128<<20];
int main() {
  __asm__("movl %%esp, (%%eax);\n"::"a"(my_stack):"memory");
  __asm__("movl %%eax, %%esp;\n"::"a"(my_stack+sizeof(my_stack)-main_stack):"%esp");
  main_main();
  __asm__("movl (%%eax), %%esp;\n"::"a"(my_stack):"%esp");
  return 0;
}