NKOJ 3798 有趣的数列 （卡特兰数+线性筛）

发表于 |
字数统计: 655字 | 阅读时长 ≈ 3min

P3798有趣的数列

问题描述

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{Ai}；

(2)所有的奇数项满足A1 < A3 < … < A2n-1，所有的偶数项满足A2 < A4 < … < A2n；

(3)任意相邻的两项A2i-1与A2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：A2i-1 < A2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

输入格式

用空格隔开的两个整数n和P。

50%的数据满足n≤1000

100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

输出格式

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

样例输入

3 10

样例输出

5

简单考虑一下，设 $F[2n]$ 为长度为 $2n$ 时满足条件的排列数

将它划分成两段来考虑，保证一段中的任意一个数大于另一段中的任意一个数

那么有 $F[2n]=F[2n-2]\times F[2]+F[2n-4]\times F[4]……$ ，那么这就是卡特兰数

正确性考虑一下发现每种排列都会且仅会被讨论到一次。
当然，打表找规律更加直接。

接下来如何算卡特兰数，只需要分解质因数处理即可。
分解质因数时需要用到线性筛，记录下一个合数的质因数分解链，具体实现参见代码。

代码：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 3333333
#define ll long long
using namespace std;
ll n,p,P[N],cnt[N],Las[N],tot,ans=1;
bool mark[N];
void Linear()
{
	ll i,j,x=2*n;
	for(i=2;i<=x;i++)
	{
		if(!mark[i])P[++tot]=i;
		for(j=1;j<=tot&&P[j]*i<=x;j++)
		{
			mark[i*P[j]]=1;
			Las[i*P[j]]=j;//质因数链
			if(i%P[j]==0)break;
		}
	}
}
void Ins(ll x,ll ty)
{
	while(x>1)
	{
		if(!mark[x]){cnt[x]+=ty;return;}
		cnt[P[Las[x]]]+=ty;
		x/=P[Las[x]];
	}
}
ll QM(ll a,ll b)
{
	ll sum=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)sum=sum*a%p;
		b>>=1;a=a*a%p;
	}
	return sum;
}
int main()
{
	ll i;
	scanf("%lld%lld",&n,&p);
	Linear();
	Ins(n+1,-1);
	for(i=2;i<=n;i++)Ins(i,-1);
	for(i=n+1;i<=2*n;i++)Ins(i,1);
	for(i=1;i<=2*n;i++)
	if(cnt[i])ans=ans*QM(i,cnt[i])%p;
	cout<<ans;
}