NKOJ 3800 分解质因数（欧拉函数+线性筛）

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P3801分解质因数

问题描述

记Pi表示正整数i的质因数集合。

已知正整数n,求满足下列条件的有序正整数对(a,b)的数目：

(1)1<=a<=b<=n
(2)t为a,b的最大公约数，Pt是Pn的子集

输入格式

一个正整数n.

输出格式

一个正整数，表示合题意的有序正整数对的数目.

样例输入 1

6

样例输出 1

20

样例输入 2

7

样例输出 2

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数据范围

50%的数据1<=n<=2000;

100%的数据1<=n<=1000000.

此题有两种做法。

做法一：先介绍一种比较简单粗暴的。
我们考虑一个数$d$，满足$P_{d}$是$P_{n}$的子集，这样的$d$是比较容易求的，只需要求出$n$的质因数分解后用线性筛就可以处理，但是本题可以直接暴力一点预处理。

总之，我们求出了$d$，那么现在需要考虑对于每一个$d$，有多少个数对$(A,B)$满足$gcd(A,B)=d$，那么根据$gcd$的性质，有$gcd(\frac {A}{d},\frac {B}{d})=1$
那么显然我们只需要找出在$1-\frac {n}{d}$的范围中，有多少对互质的整数即可，那么显然是$\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} \varphi(i)$，那么$\varphi$的前缀和$S_{\varphi}$可以用线性筛处理，然后枚举$d$把$S_{\varphi}(\frac{n}{d})$累加起来就是答案。

代码：

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#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1000005
#define ll long long
using namespace std;
ll n,phi[N],S[N],P[N],tot,ans;
bool mark[N];
int main()
{
	ll i,j;
	scanf("%lld",&n);phi[1]=1;S[1]=1;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!phi[i])phi[i]=i-1,P[++tot]=i;
		for(j=1;j<=tot&&P[j]*i<=n;j++)
		if(i%P[j])phi[i*P[j]]=phi[i]*(P[j]-1);
		else {phi[i*P[j]]=phi[i]*P[j];break;}
		S[i]=S[i-1]+phi[i];
	}
	for(i=1;i<=tot;i++)if(n%P[i])for(j=P[i];j<=n;j+=P[i])mark[j]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)if(!mark[i])ans+=S[n/i];
	printf("%lld",ans);
}

做法二：
做法二比较的巧妙，我们可以认为在$P_{n}$中的质数不是质数，那么题设条件就变成了求有多少对互质的数对，那么显然是欧拉函数求解，但是由于质数是改动过的，我们记他为$\varphi’(x)$，那么因为这个函数与欧拉函数基本是一样的，那么他显然是积性函数，那么就可以用线性筛来搞。
具体来说，我们在普通的线性筛中，遇到质数时判断一下，如果这个质数在$P_{n}$中，那么$\varphi’(x)=x$，否则$\varphi’(x)=x-1$，然后合数还是通过积性函数性质来搞。

代码：

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#include<stdio.h> 
#include<iostream> 
#include<cmath> 
using namespace std; 
const int N=20000050; 
int n,phi[N],prime[N]; 
bool mark[N],p[N]; 
void linear() 
{ 
    int i,j,tot=0; phi[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!phi[i])
		{
            if(!p[i])phi[i]=i-1;
            else phi[i]=i;
            prime[++tot]=i;
        } 
        for(j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=n;j++) 
        if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
        else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(phi[prime[j]]);
    }
} 
main() 
{ 
    int i,j,k; 
    cin>>n; 
    int tmp=n; 
    for(i=2;i*i<=n&&tmp!=1;i++) 
    if(tmp%i==0) 
    {
        while(tmp%i==0)tmp/=i;
        p[i]=true;
    } 
    if(tmp!=1)p[tmp]=true; 
    linear();
    long long ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++)ans+=1LL*(phi[i]);
    cout<<ans;
}