NKOJ 3961 zMy的lcm （Pollard_Rho+欧拉函数+高精度）

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P3961zMy的lcm

问题描述

这里写图片描述

首先注意到，题目中的异或是不存在的，因为出题人懒得写高精度异或。
先推导一番
$$
Ans=\sum_{i=1}^{n}lcm(n,i)=n\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{gcd(n,i)}=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{d}[gcd(n,i)==d]=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i[gcd(\frac{n}{d},i)==1]
$$
这里用到一个公式，$\sum_{i=1}^{n}i[gcd(n,i)==1]=\frac{n\varphi(n)}{2}$
关于证明，考虑到如果$gcd(i,n)=1$，那么$gcd(n-i,n)=1$，由此得证。

因此
$$
Ans=\frac{n}{2}\sum_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(\frac{n}{d})=\frac{n}{2}\sum_{d|n}d\varphi(d)，令f(n)=\sum_{d|n}d\varphi(d)
$$
考虑如何求$f(n)$，观察发现，$f(n)$可能是积性函数，尝试证明一下。

$$
f(a)=\sum_{i|a}i\varphi(i)，f(b)=\sum_{j|b}j\varphi(j)，gcd(a,b)=1
$$

$$
那么显然f(ab)=\sum_{i|a}\sum_{j|b}ij\varphi(ij)=\sum_{i|a}\sum_{j|b}ij\varphi(i)\varphi(j)=\sum_{i|a}i\varphi(i)\sum_{j|b}j\varphi(j)=f(a)f(b)
$$

因此可以分解质因数后求$f(n)$，只需要考虑求$f(p^k)$，推导一下容易发现$f(p^k)=\frac{p^{2k}-1}{p+1}p+1$

因此只需要用$Pollard\ Rho$求质因数分解，然后高精度算一算就行了。
总复杂度$O(Tn^{\frac{1}{4}}+高精度复杂度)$

代码：

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#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=1e9;
struct Big
{
	ll cur,S[500];
	void Output()
	{
		printf("%lld",S[cur]);
		ll i,k;
		for(i=cur-1;i>=0;i--)
		{
			k=mod/10;
			while(k>S[i])putchar('0'),k/=10;
			if(k)printf("%lld",S[i]);
		}
	}
	void add(ll k)
	{
		S[0]+=k;ll i=0;
		while(S[i]>=mod)S[i+1]+=S[i]/mod,S[i++]%=mod,cur=max(i,cur);
		while(S[cur+1])cur++;
	}
	void Add(const Big& o)
	{
		ll i,r=max(o.cur,cur);
		for(i=0;i<=r;i++)
		{
			S[i]+=o.S[i];
			if(S[i]>=mod)S[i+1]+=S[i]/mod,S[i]%=mod;
		}
		cur=r+5;while(cur&&S[cur]==0)cur--;
	}
	void multiply(ll k)
	{
		for(ll i=0;i<=cur;i++)S[i]*=k;
		for(ll i=0;i<cur;i++)if(S[i]>=mod)S[i+1]+=S[i]/mod,S[i]%=mod;
		while(S[cur]>=mod)S[cur+1]+=S[cur]/mod,S[cur]%=mod,cur++;
	}
	void Multiply(const Big o,Big& E)
	{
		ll i,j;memset(&E,0,sizeof(E));
		for(i=0;i<=cur;i++)
		for(j=0;j<=o.cur;j++)
		{
			E.S[i+j]+=S[i]*o.S[j];
			if(E.S[i+j]>=mod)E.S[i+j+1]+=E.S[i+j]/mod,E.S[i+j]%=mod;
		}
		E.cur=cur+o.cur+5;while(E.cur>0&&E.S[E.cur]==0)E.cur--;
	}
	void divide(ll k)
	{
		for(ll i=cur;i>0;i--)
		{
			S[i-1]+=S[i]%k*mod;S[i]/=k;
			if(S[cur]==0)cur--;
		}
		S[0]/=k;
	}
	void operator=(const Big& B)
	{
		memset(S,0,sizeof(S));cur=B.cur;
		for(ll i=cur;i>=0;i--)S[i]=B.S[i];
	}
}Ans,A,B,D,Zero;
ll T,P[5]={2,3,5,7,11},C[233],tot;
ll gcd(ll a,ll b)
{return b==0?a:gcd(b,a%b);}
ll QC(ll a,ll b,ll c)
{
	ll o=0;a%=c;
	while(b)
	{
		if(b&1)o+=a,o-=o>=c?c:0;
		b>>=1;a+=a;a-=a>=c?c:0;
	}
	return o;
}
ll QM(ll a,ll b,ll c)
{
	ll o=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)o=QC(o,a,c);
		b>>=1;a=QC(a,a,c);
	}
	return o;
}
ll QQ(ll a,ll b)
{
	ll o=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)o*=a;
		b>>=1;a*=a;
	}
	return o;
}
bool MR(ll x)
{
	if(!x&1)return x==2;
	if(x==1)return 0;
	ll i,j,k,p,t=0,m,pre;
	m=x-1;while(!m&1)m>>=1,t++;
	for(i=0;i<5;i++)
	{
		p=P[i];if(x%p==0)return x==p;
		p=QM(p,m,x);
		if(p==1)continue;
		for(j=1;j<=t;j++)
		{
			pre=p;p=QC(p,p,x);
			if(p==1)
			{
				if(pre!=1&&pre!=x-1)return 0;
				break;
			}
		}
		if(p!=1)return 0;
	}
	return 1;
}
void RHO(ll x)
{
	if(MR(x)){C[++tot]=x;return;}
	ll i,k,a,b,c,t;
	while(1)
	{
		i=1;k=2;
		a=b=1ll*rand()*rand()%x;
		c=1ll*rand()*rand()%x;
		while(i++)
		{
			b=(QC(b,b,x)+c)%x;
			if(a==b)break;
			t=gcd(a>b?a-b:b-a,x);
			if(t!=1){RHO(t);RHO(x/t);return;}
			if(i==k)k<<=1,a=b;
		}
	}
}
int main()
{
	srand(time(NULL));
	ll i,j,tmp;ll n;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld",&n);
		if(n==1){printf("1\n");continue;}
		Ans=Zero;Ans.add(1ll);
		tot=0;RHO(n);
		sort(C+1,C+tot+1);
		for(i=1;i<=tot;i=j)
		{
			j=i+1;while(j<=tot&&C[j]==C[i])j++;
			tmp=QQ(C[i],j-i);
			if(j-i>1)
			{
				A=Zero;B=Zero;
			    A.add(tmp+1);
			    B.add(tmp-1);
			    A.Multiply(B,D);
			    D.multiply(C[i]);
			    D.divide(C[i]+1);
			    D.add(1);
			    Ans.Multiply(D,B);
			    Ans=B;
			}
			else
			{
				A=Zero;B=Zero;
				A.add(tmp);
				B.add(tmp-1);
				A.Multiply(B,D);
				D.add(1);
				Ans.Multiply(D,B);
				Ans=B;
			}
		}
		A=Zero;
		A.add(n);
		Ans.divide(2);
		Ans.Multiply(A,B);
		B.add(n);
		B.Output();putchar('\n');
	}
}