NKOJ 3967 （SCOI 2007）最大土地面积（旋转卡壳）

发表于 |
字数统计: 700字 | 阅读时长 ≈ 3min

P3967【SCOI2007】最大土地面积

问题描述

在某块平面土地上有N个点，你可以选择其中的任意四个点，将这片土地围起来，当然，你希望这四个点围成的多边形面积最大。

输入格式

在某块平面土地上有N个点，你可以选择其中的任意四个点，将这片土地围起来，当然，你希望这四个点围成的多边形面积最大。

输出格式

最大的多边形面积，答案精确到小数点后3位。

样例输入

5
0 0
1 0
1 1
0 1
0.5 0.5

样例输出

1.000

提示

n<=2000, |x|,|y|<=100000

首先，面积最大的点一定在凸包上，因此先求出凸包，然后在凸包上搞。
求四边形面积不方便，容易想到拆成两个三角形，因此可以枚举对角线，然后分别求出对角线两侧的最大三角形面积。这里可以在凸包上二分。
但是注意到当对角线一端固定，另一端向一个方向移动时，最大三角形面积的位置也是单调的。因为相当于是用平行于当前对角线的直线去与凸包求切点，所以可以旋转卡壳，跟着转就行了。最好直接用面积判断是否需要移动。
总复杂度$O(n^2)$

代码：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 3005
using namespace std;
double eps=1e-9;
struct node
{
	double x,y;
	bool operator<(const node &b)const
	{
		if(x==b.x)return y>b.y;
		return x<b.x;
	}
	double operator*(const node &b)const
	{return x*b.y-y*b.x;}
	node operator-(const node &b)const
	{return (node){x-b.x,y-b.y};}
}P[N],S[N];
int n,top;
double Lmax[N],Rmax[N],ans;
int main()
{
	int i,j,k;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y);
	sort(P+1,P+n+1);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		while(top>1&&(S[top-1]-S[top])*(S[top-1]-P[i])<eps)top--;
		S[++top]=P[i];
	}
	k=--top;
	for(i=n;i>=1;i--)
	{
		while(top>k+1&&(S[top-1]-S[top])*(S[top-1]-P[i])<eps)top--;
		S[++top]=P[i];
	}
	for(i=1;i<top;i++)
	{
		k=i+1;
		for(j=i+2;j<top-1;j++)
		{
			while(fabs((S[k]-S[j])*(S[k]-S[i]))<fabs((S[k+1]-S[j])*(S[k+1]-S[i])))k++;
			Lmax[j]=fabs((S[k]-S[j])*(S[k]-S[i]));
		}
		k=top-1;
		for(j=top-2;j>i+1;j--)
		{
			while(fabs((S[k]-S[i])*(S[k]-S[j]))<fabs((S[k-1]-S[i])*(S[k-1]-S[j])))k--;
			Rmax[j]=fabs((S[k]-S[i])*(S[k]-S[j]));
		}
		for(j=i+2;j<top-1;j++)ans=max(ans,Lmax[j]+Rmax[j]);
	}
	printf("%.3lf",0.5*ans);
}