NOI 2015 荷马史诗 （哈夫曼树）

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【NOI2015 Day2】荷马史诗

问题描述

追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。
一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词，从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wi。Allison 想要用 k 进制串 si 来替换第 i 种单词，使得其满足如下要求:
对于任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的前缀。
现在 Allison 想要知道，如何选择 si，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的 si 的最短长度是多少？
一个字符串被称为 k 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间（包括 0 和 k−1）的整数。
字符串 Str1 被称为字符串 Str2 的前缀，当且仅当：存在 1≤t≤m，使得 Str1=Str2[1..t]。其中，m 是字符串 Str2 的长度，Str2[1..t] 表示 Str2 的前 t 个字符组成的字符串。

输入格式

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,k，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种单词，需要使用 k 进制字符串进行替换。
接下来 n 行，第 i+1 行包含 1 个非负整数 wi，表示第 i 种单词的出现次数。

输出格式

输出文件包括 2 行。
第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。
第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 si 的最短长度。

样例输入1：

4 2
1
1
2
2

样例输入2：

6 3
1
1
3
3
9
9

样例输出1：

12
2

样例输出2：

36
3

此题的解是多叉哈夫曼树，哈夫曼树是用于解决最短编码的一种编码方法。

首先，将每种字符视为点，出现次数视为点权，那么每次选取权最小的k个点合成一个新点，新点点权等于各点点权和，如此最后只剩一个点时，就构好了k叉哈夫曼树，至于具体的编码，举个例子说明即可。
这里写图片描述
如上图的二叉哈夫曼树，那么a的编码为00，b的编码为01，c的编码为1

至于最长编码的最短长度，实际上就是要求哈夫曼树的深度尽量小，那么只需要每次选权值最小且深度深度尽量小的子树合并即可。

具体实现时，可以将点分成已合并的点和未合并的点，维护两个队列的单调性，每次取队首即可。

代码：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
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65
66
67
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 10000005
#define int long long
using namespace std;
struct node{int v,sum,x,dep;}A[N],B[N];
bool operator<(node a,node b)
{
	if(a.v==b.v)return a.dep<b.dep;
	return a.v<b.v;
}
int n,k,l1=1,r1,l2=1,r2;
main()
{
	int i,j;node tmp;
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&A[++r1].v);
		A[r1].x=A[r1].v;
	}
	if((n-1)%(k-1))r1+=k-1-(n-1)%(k-1);
	sort(A+l1,A+r1+1);
	while(r1-l1+r2-l2+2>1)
	{
		i=0;tmp.sum=tmp.v=tmp.x=tmp.dep=0;
		while(i<k)
		{
			if(l1>r1)
			{
				tmp.v+=B[l2].v;
				tmp.sum+=B[l2].sum+B[l2].x;
				tmp.x+=B[l2].x;
				tmp.dep=max(tmp.dep,B[l2].dep+1);
				l2++;
			}
			else if(l2>r2)
			{
				tmp.v+=A[l1].v;
				tmp.sum+=A[l1].sum+A[l1].x;
				tmp.x+=A[l1].x;
				tmp.dep=max(tmp.dep,A[l1].dep+1);
				l1++;
			}
			else if(A[l1]<B[l2])
			{
				tmp.v+=A[l1].v;
				tmp.sum+=A[l1].sum+A[l1].x;
				tmp.x+=A[l1].x;
				tmp.dep=max(tmp.dep,A[l1].dep+1);
				l1++;
			}
			else
			{
				tmp.v+=B[l2].v;
				tmp.sum+=B[l2].sum+B[l2].x;
				tmp.x+=B[l2].x;
				tmp.dep=max(tmp.dep,B[l2].dep+1);
				l2++;
			}
			i++;
		}
		B[++r2]=tmp;
	}
	printf("%lld\n%lld",B[l2].sum,B[l2].dep);
}